حل تمرین های ترکیبی فصل هفتم ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 118 - تمرین 1 برای محاسبه این عبارت کسری پیچیده، باید همه اعداد را به صورت **توان‌هایی با پایه‌های اول** (مثل 2 و 3) بنویسیم و سپس با استفاده از قوانین توان‌ها، عبارت را ساده کنیم. ### **گام 1: تجزیه اعداد به پایه‌های اول** * $$8 = 2^3$$ * $$-9 = -3^2 \implies (-9)^2 = (-(3^2))^2 = (-1)^2 \times (3^2)^2 = 1 \times 3^4 = 3^4$$ * $$18 = 2 \times 9 = 2 \times 3^2$$ ### **گام 2: جایگذاری در عبارت اصلی** $$ \frac{(-3)^5 \times 2^4 \times (2^3)}{-2^7 \times (3^4) \times (2 \times 3^2)} $$ ### **گام 3: ساده‌سازی صورت و مخرج (قانون ضرب توان‌ها)** * **صورت:** $$ (-3)^5 \times 2^{4+3} = (-1)^5 \times 3^5 \times 2^7 = -3^5 \times 2^7 $$ * **مخرج:** $$ -2^7 \times 2^1 \times 3^4 \times 3^2 = -2^{7+1} \times 3^{4+2} = -2^8 \times 3^6 $$ ### **گام 4: ساده‌سازی کل کسر (قانون تقسیم توان‌ها)** $$ \frac{-3^5 \times 2^7}{-2^8 \times 3^6} $$ * **ساده‌سازی علامت‌ها:** منفی در صورت و منفی در مخرج با هم ساده می‌شوند (حاصل مثبت است). * **ساده‌سازی پایه‌ 2:** $$ \frac{2^7}{2^8} = 2^{7-8} = 2^{-1} = \frac{1}{2} $$ * **ساده‌سازی پایه‌ 3:** $$ \frac{3^5}{3^6} = 3^{5-6} = 3^{-1} = \frac{1}{3} $$ ### **گام 5: محاسبه نهایی** $$ \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} $$ * **پاسخ نهایی:** $$ \frac{1}{6} $$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 118 - تمرین 2 برای محاسبه این تقسیم، باید همه پایه‌ها را به صورت **توان‌هایی با پایه‌های اول** (2، 3 و 5) بنویسیم و سپس از قوانین توان‌ها استفاده کنیم. ### **گام 1: تجزیه و ساده‌سازی اعداد** * $$ 30 = 3 \times 10 = 2 \times 3 \times 5 $$ * $$ 27 = 3^3 \implies \frac{1}{27} = 3^{-3} $$ * $$ 25 = 5^2 \implies \frac{1}{25} = 5^{-2} $$ ### **گام 2: جایگذاری و ساده‌سازی پرانتزها** * **پرانتز اول (صورت تقسیم):** $$ [ (2 \times 3 \times 5)^5 \times (3^{-3})^3 ] = [ 2^5 \times 3^5 \times 5^5 \times 3^{-9} ] $$ $$ \text{صورت} = 2^5 \times 3^{5-9} \times 5^5 = 2^5 \times 3^{-4} \times 5^5 $$ * **پرانتز دوم (مخرج تقسیم):** $$ [ 5^4 \times (5^{-2})^2 ]^3 = [ 5^4 \times 5^{-4} ]^3 $$ $$ [ 5^{4-4} ]^3 = [ 5^0 ]^3 = 1^3 = 1 $$ ### **گام 3: محاسبه نهایی** عبارت نهایی به شکل زیر در می‌آید: $$ \frac{2^5 \times 3^{-4} \times 5^5}{1} $$ * **نمایش توان منفی به صورت کسری:** $$ 2^5 \times \frac{1}{3^4} \times 5^5 = \frac{2^5 \times 5^5}{3^4} $$ * **محاسبه مقادیر:** $2^5 = 32$، $5^5 = 3125$، $3^4 = 81$. $$ \frac{32 \times 3125}{81} = \frac{100000}{81} $$ * **پاسخ نهایی:** $$ \frac{100000}{81} $$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 118 - تمرین 4 (مرتب‌سازی) برای مرتب‌سازی صعودی (از کوچک به بزرگ) این اعداد، ابتدا باید مقدار دقیق یا تقریبی هر عبارت را محاسبه کنیم. ### **گام 1: محاسبه مقادیر** 1. **$$-2^4$$:** توان بر روی 2 است و علامت منفی خارج از آن. $$ - (2^4) = -16 $$ 2. **$$2^3$$:** $$ 8 $$ 3. **$$\sqrt{25}$$:** $$ 5 $$ 4. **$$\sqrt{47}$$:** \(\sqrt{36} < \sqrt{47} < \sqrt{49}\). چون $47$ به $49$ نزدیک‌تر است، پس $ \sqrt{47} \approx 6.85 $. 5. **$$6$$:** $$ 6 $$ 6. **$$ (-\frac{2}{5})^4 $$:** چون توان زوج است، حاصل مثبت است. $$ (-\frac{2}{5})^4 = (\frac{2}{5})^4 = \frac{16}{625} $$. این یک عدد مثبت بسیار کوچک است. $$ \approx 0.0256 $$ 7. **$$ (-2)^4 $$:** توان بر روی منفی 2 است. چون توان زوج است، حاصل مثبت است. $$ (-2)^4 = 16 $$ ### **گام 2: لیست کردن مقادیر برای مقایسه** * $$-2^4 = -16$$ * $$2^3 = 8$$ * $$\sqrt{25} = 5$$ * $$\sqrt{47} \approx 6.85$$ * $$6 = 6$$ * $$(-2/5)^4 \approx 0.0256$$ * $$(-2)^4 = 16$$ ### **گام 3: مرتب‌سازی صعودی (از کوچک به بزرگ)** $$-16 < 0.0256 < 5 < 6 < 6.85 < 8 < 16$$ ### **گام 4: نوشتن عبارت‌ها به ترتیب اصلی** $$ -2^4 \quad , \quad (-\frac{2}{5})^4 \quad , \quad \sqrt{25} \quad , \quad 6 \quad , \quad \sqrt{47} \quad , \quad 2^3 \quad , \quad (-2)^4 $$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 118 - تمرین 5 برای مشخص کردن این اعداد روی محور اعداد، باید ابتدا مقادیر تقریبی آن‌ها را بیابیم و سپس با استفاده از رسم عمود بر محور، موقعیت دقیق‌تر آن‌ها را مشخص کنیم. ### **1. مشخص کردن $\sqrt{10}$** * **تخمین:** $ \sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16} \implies 3 < \sqrt{10} < 4 $ (نزدیک به 3) * **رسم با فیثاغورس:** می‌توانیم $10$ را به صورت مجموع مربعات دو عدد بنویسیم: $10 = 3^2 + 1^2$. * از مبدأ (0)، 3 واحد به سمت راست می‌رویم. * از آن نقطه، 1 واحد عمود بر محور بالا می‌رویم. * وتری که به دست می‌آید، طول $\sqrt{10}$ را دارد. این طول را با پرگار روی محور مشخص می‌کنیم. (تقریباً 3.16) ### **2. مشخص کردن $\sqrt{13}$** * **تخمین:** $ \sqrt{9} < \sqrt{13} < \sqrt{16} \implies 3 < \sqrt{13} < 4 $ (نزدیک به 4) * **رسم با فیثاغورس:** $13 = 3^2 + 2^2$. * از مبدأ (0)، 3 واحد به سمت راست می‌رویم. * از آن نقطه، 2 واحد عمود بر محور بالا می‌رویم. * وتری که به دست می‌آید، طول $\sqrt{13}$ را دارد. این طول را با پرگار روی محور مشخص می‌کنیم. (تقریباً 3.6) ### **3. مشخص کردن $\sqrt{40} - \sqrt{16}$** * **ساده‌سازی:** ابتدا $\sqrt{16}$ را محاسبه می‌کنیم: $ \sqrt{16} = 4 $. * عبارت برابر است با: $ \sqrt{40} - 4 $. * **تخمین $\sqrt{40}$:** $ \sqrt{36} < \sqrt{40} < \sqrt{49} \implies 6 < \sqrt{40} < 7 $ (نزدیک به 6). * $ \sqrt{40} \approx 6.32 $. * **محاسبه تقریبی:** $ 6.32 - 4 = 2.32 $. * **رسم:** * **رسم $\sqrt{40}$:** $40 = 6^2 + 2^2$. وتری به طول $\sqrt{40}$ رسم می‌کنیم (از 6 به بالا 2 واحد). این طول را روی محور مشخص می‌کنیم (نقطه $P_1 = \sqrt{40}$). * **پیدا کردن $ \sqrt{40} - 4 $:** از نقطه $\sqrt{40}$، 4 واحد به سمت چپ (اعداد کوچکتر) حرکت می‌کنیم. نقطه نهایی، مکان متناظر عبارت $ \sqrt{40} - 4 $ (تقریباً 2.32) است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 118 - تمرین 6 برای محاسبه مقدار عددی این عبارت، باید مقادیر $x=2$، $y=6$، $a=-1$ و $b=\frac{1}{2}$ را با دقت در عبارت اصلی جایگذاری کنیم و مراحل محاسبه را به ترتیب انجام دهیم. ### **گام 1: جایگذاری مقادیر در صورت کسر** $$ \text{صورت} = ax^2 - b(x-y^2) $$ $$ \text{صورت} = (-1)(2)^2 - (\frac{1}{2})(2 - 6^2) $$ $$ \text{صورت} = (-1)(4) - (\frac{1}{2})(2 - 36) $$ $$ \text{صورت} = -4 - (\frac{1}{2})(-34) $$ $$ \text{صورت} = -4 - (-17) = -4 + 17 = 13 $$ ### **گام 2: جایگذاری مقادیر در مخرج کسر** $$ \text{مخرج} = 2axy + (\frac{y}{x})^3 - \frac{3}{b^2} $$ * **محاسبه عبارت اول (ضرب):** $$ 2axy = 2(-1)(2)(6) = -24 $$ * **محاسبه عبارت دوم (توان):** $$ (\frac{y}{x})^3 = (\frac{6}{2})^3 = (3)^3 = 27 $$ * **محاسبه عبارت سوم (تقسیم و توان):** $$ \frac{3}{b^2} = \frac{3}{(\frac{1}{2})^2} = \frac{3}{\frac{1}{4}} = 3 \times 4 = 12 $$ * **محاسبه کل مخرج:** $$ \text{مخرج} = -24 + 27 - 12 $$ $$ \text{مخرج} = 3 - 12 = -9 $$ ### **گام 3: محاسبه کسر نهایی** $$ \text{مقدار عددی} = \frac{\text{صورت}}{\text{مخرج}} = \frac{13}{-9} = -\frac{13}{9} $$ * **پاسخ نهایی:** $$ -\frac{13}{9} $$